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马尔琴科–巴斯德分布

马尔琴科–巴斯德分布是当矩阵维度 和自由度 同时趋向于无穷且 时， Wishart 矩阵特征值的极限分布. 对于 ，分布没有点质量，且概率密度函数是被明确定义的.

In[1]:=

PDF[MarchenkoPasturDistribution[1/2], x]

Out[1]=

In[2]:=

Plot[PDF[MarchenkoPasturDistribution[1/2], x], {x, 0, 3}, PlotRange -> All, Exclusions -> None, Filling -> Axis, PlotTheme -> "Detailed", ImageSize -> Medium, PlotLegends -> None]

Out[2]=

从具有单位尺度矩阵的 Wishart 分布采样，并计算缩放的特征值.

In[3]:=

n = 10^4; m = 10^3; eigs = RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]/n, x \[Distributed] WishartMatrixDistribution[n, IdentityMatrix[m]]]];

比较采样结果与马尔琴科–巴斯德密度函数.

In[4]:=

Show[Histogram[eigs, {0.05}, "PDF", ImageSize -> Medium, PlotTheme -> "Detailed"], Plot[PDF[MarchenkoPasturDistribution[m/n], x], {x, 0, 1.8}, PlotTheme -> "Detailed", PlotLegends -> None, Exclusions -> None]]

Out[4]=

对于 ，Wishart 矩阵是奇异的. 当概率为 时，分布在 处具有点质量.

In[5]:=

m = 500; n = 2 m; CDF[MarchenkoPasturDistribution[n/m], 0]

Out[5]=

生成具有单位协方差的奇异 Wishart 矩阵，并计算缩放的特征值.

In[6]:=

matrix = Transpose[#].# &[RandomVariate[NormalDistribution[], {m, n}]]; eigvs = Chop[Eigenvalues[matrix]/m];

在特征值密度接近于 0 处有一个空隙，并且箱在 0 具有较大的密度.

In[7]:=

Histogram[eigvs, {0.05}, PDF, PlotRange -> 1, ChartStyle -> Orange, ImageSize -> Medium]

Out[7]=

将 MarchenkoPasturDistribution 拟合到特征值.

In[8]:=

edist = EstimatedDistribution[eigvs, MarchenkoPasturDistribution[\[Lambda], 1]]

Out[8]=

拟合分布的累积分布函数显示在原点有一个跳跃不连续点.

In[9]:=

Show[Histogram[eigvs, {0.05}, CDF, ChartStyle -> Orange], Quiet@Plot[CDF[edist, x], {x, -1.5, 5.75}, Exclusions -> None, PlotStyle -> Thick], ImageSize -> Medium, AxesOrigin -> {-1, 0}, PlotRange -> {{-1.5, 6}, {0, 1}}]

Out[9]=