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随机矩阵

矩阵的谱密度

许多矩阵分布的联合谱密度均有相应的普适极限形式. 对于具有独立项的埃尔米特随机矩阵而言,这是维格纳半圆法.

对于高斯系综,有限矩阵维度的矩阵的缩放谱密度具有解析形式,与量子谐振子的特征函数相关.

使用 MatrixPropertyDistribution 表示高斯酉系综的缩放谱,并提供其联合谱密度的解析表达式.

In[1]:=
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scaledSpectrum\[ScriptCapitalD][n_] := MatrixPropertyDistribution[ Eigenvalues[\[Lambda]]/(2 Sqrt[n]), \[Lambda] \[Distributed] GaussianUnitaryMatrixDistribution[n]];
In[2]:=
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spectralPDF[n_Integer, \[Lambda]_] := Sqrt[2/(\[Pi] n)] Exp[-2 n \[Lambda]^2] \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 0\), \(n - 1\)] \*FractionBox[ SuperscriptBox[\(HermiteH[j, \*SqrtBox[\(2\ n\)]\ \[Lambda]]\), \(2\)], \( \*SuperscriptBox[\(2\), \(j\)]\ \(j!\)\)]\)

对于小的矩阵维度,有一个独特的振荡模式,其密度极大值的个数等于矩阵大小.

In[3]:=
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scaledSpectra = Flatten[RandomVariate[scaledSpectrum\[ScriptCapitalD][#], 10^5]] & /@ {3, 4, 5};
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In[4]:=
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Row@MapThread[ Show[Plot[spectralPDF[#1, x], {x, -1.5, 1.5}, PlotTheme -> "Scientific", PlotStyle -> ColorData[97, 1], PlotLegends -> Placed["n = " <> ToString@#1, Above]], Histogram[#2, {0.05}, PDF]] &, {{3, 4, 5}, scaledSpectra}]
Out[4]=

在大维度的极限情况下,密度收敛于 WignerSemicircleDistribution.

In[5]:=
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n = 250; scaledSpectrum = Flatten[RandomVariate[scaledSpectrum\[ScriptCapitalD][n], 10^2]];
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In[6]:=
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Show[Histogram[scaledSpectrum, {0.05}, PDF, PlotTheme -> "Detailed"], Plot[PDF[WignerSemicircleDistribution[1], x], {x, -1.5, 1.5}, Exclusions -> None, PlotTheme -> "Scientific", PlotLegends -> None, PlotStyle -> ColorData[97, 1]], ImageSize -> Medium]
Out[6]=

相关范例

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