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Densité spectrale d'une matrice

La densité spectrale conjointe de nombreuses distributions de matrice ont une forme correspondante universelle de limite. Pour les matrices aléatoires hermitiennes avec entrées indépendantes, telle est la loi de demi-cercle Wigner.

Pour les ensembles de Gauss, la densité spectrale des matrices ont une forme fermée pour la dimension de la matrice finie, en rapport avec les fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique.

Utilisez MatrixPropertyDistribution pour représenter le spectre à l'échelle de l'ensemble unitaire de Gauss et fournissez l'expression de forme fermée de sa densité spectrale commune.

In[1]:=

scaledSpectrum\[ScriptCapitalD][n_] := MatrixPropertyDistribution[ Eigenvalues[\[Lambda]]/(2 Sqrt[n]), \[Lambda] \[Distributed] GaussianUnitaryMatrixDistribution[n]];

In[2]:=

spectralPDF[n_Integer, \[Lambda]_] := Sqrt[2/(\[Pi] n)] Exp[-2 n \[Lambda]^2] \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 0\), \(n - 1\)] \*FractionBox[ SuperscriptBox[\(HermiteH[j, \*SqrtBox[\(2\ n\)]\ \[Lambda]]\), \(2\)], \( \*SuperscriptBox[\(2\), \(j\)]\ \(j!\)\)]\)

Pour les petites dimensions de la matrice, il y a un modèle oscillatoire caractéristique, dont le nombre de densité égale à la taille maximale de la matrice.

In[3]:=

scaledSpectra = Flatten[RandomVariate[scaledSpectrum\[ScriptCapitalD][#], 10^5]] & /@ {3, 4, 5};

In[4]:=

Row@MapThread[ Show[Plot[spectralPDF[#1, x], {x, -1.5, 1.5}, PlotTheme -> "Scientific", PlotStyle -> ColorData[97, 1], PlotLegends -> Placed["n = " <> ToString@#1, Above]], Histogram[#2, {0.05}, PDF]] &, {{3, 4, 5}, scaledSpectra}]

Out[4]=

Dans la limite de grande dimension, la densité converge vers WignerSemicircleDistribution.

In[5]:=

n = 250; scaledSpectrum = Flatten[RandomVariate[scaledSpectrum\[ScriptCapitalD][n], 10^2]];

In[6]:=

Show[Histogram[scaledSpectrum, {0.05}, PDF, PlotTheme -> "Detailed"], Plot[PDF[WignerSemicircleDistribution[1], x], {x, -1.5, 1.5}, Exclusions -> None, PlotTheme -> "Scientific", PlotLegends -> None, PlotStyle -> ColorData[97, 1]], ImageSize -> Medium]

Out[6]=