Modellieren Sie eine hängende Kette
Ermitteln Sie die Stelle minimaler potentieller Energie einer Kette oder eines Kabels der Länge , das zwischen zwei Punkten aufgehängt ist.
Legen Sie Parameterwerte für die Länge der Kette , die Höhe am linken Ende sowie die Höhe am rechten Ende fest.
L = 4; a = 1; b = 3;
sei die Höhe der Kette als eine Funktion der horizontalen Position, mit .
xf = 1; nh = 201; h := xf/nh;
Legen Sie Variablen für die Höhe der Kette fest.
varsy = Array[y, nh + 1, {0, nh}];
Geben Sie die Neigung an der Stelle mit an und legen Sie dafür Variablen fest.
varsm = Array[m, nh + 1, {0, nh}];
Geben Sie die partielle potentielle Energie von bis mit an.
varsv = Array[v, nh + 1, {0, nh}];
Geben Sie die Länge der Kette an der Stelle mit an und legen Sie Variablen dafür fest.
varss = Array[s, nh + 1, {0, nh}];
Verknüpfen Sie alle Variablen.
vars = Join[varsm, varsy, varsv, varss];
Das Ziel ist, die potentielle Gesamtenergie zu minimieren.
objfn = v[nh];
Hier sind die der Geometrie zugrundeliegenden Randwertsbedingungen.
bndcons = {y[0] == a, y[nh] == b, v[0] == 0, s[0] == 0, s[nh] == L};
Diskretisieren Sie die ODE: , , .
odecons = {Table[
y[j + 1] == y[j] + 0.5*h*(m[j] + m[j + 1]), {j, 0, nh - 1}],
Table[v[j + 1] ==
v[j] + 0.5*
h*(y[j]*Sqrt[1 + m[j]^2] + y[j + 1]*Sqrt[1 + m[j + 1]^2]), {j,
0, nh - 1}],
Table[s[j + 1] ==
s[j] + 0.5*h*(Sqrt[1 + m[j]^2] + Sqrt[1 + m[j + 1]^2]), {j, 0,
nh - 1}]};
Wählen Sie Anfangspunkte für die Variablen.
tmin = If[b > a, 0.25 , 0.75]; init =
Join[Table[4*Abs[b - a]*((k/nh) - tmin), {k, 0, nh}],
Table[4*Abs[b - a]*(k/nh)*(0.5*(k/nh) - tmin) + a, {k, 0, nh}],
Table[(4*Abs[b - a]*(k/nh)*(0.5*(k/nh) - tmin) + a)*4*
Abs[b - a]*((k/nh) - tmin), {k, 0, nh}],
Table[4*Abs[b - a]*((k/nh) - tmin), {k, 0, nh}]];
Minimieren Sie die den Bedingungen unterliegende potentielle Gesamtenergie.
sol = FindMinimum[{objfn, Join[bndcons, odecons]},
Thread[{vars, init}]];
Extrahieren Sie die Lösungspunkte.
solpts = Table[{i h, y[i] /. sol[[2]]}, {i, 0, nh}];
Plotten Sie die Stelle der Kette mit minimaler potentieller Energie.
ListPlot[solpts, ImageSize -> Medium, PlotTheme -> "Marketing"]
Ermitteln Sie mit FindFit das beste Modell zur Anpassung an die Kettenkurve.
catenary[t_] = c1 + (1/c2) Cosh[c2 (t - c3)];
fitsol = FindFit[solpts, catenary[t], {c1, c2, c3}, {t}]
Plotten Sie die Lösungspunkte zusammen mit der Kettenlinie.
Show[Plot[catenary[t] /. fitsol, {t, 0, 1},
PlotStyle -> Directive[Green, Thickness[0.01]],
ImageSize -> Medium],
ListPlot[Take[solpts, 1 ;; nh ;; 5], PlotStyle -> PointSize[.02]]]