Berechnen Sie das Problem der Linie des schnellsten Falles : Neu in Wolfram Language 11

Berechnen Sie das Problem der Linie des schnellsten Falles

Beim Problem der Linie des schnellsten Falles geht es darum, die Kurve zu finden, bei der man von jedem Punkt aus die gleiche Zeit benötigt, um zum Tiefpunkt zu gelangen. Wenn Sie die Gesamtfallzeit durch die Bogenlänge der Kurve und die Geschwindigkeit v ausdrücken, ergibt sich die Abelsche Integralgleichung . Aus der Definition der unbekannten Funktion durch die Beziehung und der Verwendung des Energieerhaltungssatzes ergibt sich die folgende explizite Gleichung:

In[1]:=

abeleqn = T == 1/Sqrt[2 g] \!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(y\)]\(
\*FractionBox[\(h[z]\), 
SqrtBox[\(y - z\)]] \[DifferentialD]z\)\);

Lösen Sie mit DSolveValue die Integralgleichung.

In[2]:=

dsdy = DSolveValue[abeleqn, h[y], y]

Out[2]=

Nutzen Sie den Zusammenhang , um nach zu lösen.

In[3]:=

dxdy = Sqrt[dsdy^2 - 1]

Out[3]=

Wenn Sie den Ursprung als Anfangspunkt der Kurve wählen und anschließend integrieren, kann als eine Funktion von ausgedrückt werden. Nehmen Sie für den Integranden reelle Werte an.

In[4]:=

x[y_] = Integrate[dxdy, {y, 0, y}, 
  Assumptions -> (2 g (T^2) )/(\[Pi]^2 y) > 1 && y > 0]

Out[4]=

Nehmen Sie eine Fallzeit von zwei Sekunden, bestimmen Sie einen Wert der Schwerebeschleunigung und plotten Sie die maximale Bahn der Tautochrone. (Der Zweig kommt von der Lösung für die Ableitung von .)

In[5]:=

Show[ParametricPlot[{{x[y], y}, {-x[y], y}} /. {g -> 9.8, T -> 2}, {y,
    0, (2 (9.8) 2^2)/\[Pi]^2}], ImageSize -> Medium]

Out[5]=

Die Variablenänderung ergibt eine einfache, nichtsinguläre Parametrisierung der Kurve mit .

In[6]:=

c[\[Theta]_] = (
   g T^2)/\[Pi]^2 {Sin[\[Theta]] + \[Theta], 1 - Cos[\[Theta]]} ;

Durch die Kombination des Energieerhaltungssatzes und der Kettenregel entsteht die nachstehende Differentialgleichung für als eine Funktion von , die numerisch gelöst werden kann.

In[7]:=

\[Theta]' == \[PlusMinus]FullSimplify[ Sqrt[
   2 g (Last[c[\[Theta]Max]] - Last[c[\[Theta]]])] /Sqrt[
   c'[\[Theta]].c'[\[Theta]]] , g > 0 && T > 0]

Out[7]=