Modélisez une chaîne pendante : Nouveautés de Wolfram Language 11

Modélisez une chaîne pendante

Trouvez la position avec l'énergie potentielle minimale d'une chaîne ou d'un fil de longueur L suspendue entre deux points.

Configurez les valeurs de paramètre de la longueur de la chaîne L, la hauteur d'extrémité gauche et la hauteur de l’extrême droit .

In[1]:=

L = 4; a = 1; b = 3;

Permettez que soit la hauteur de la chaîne comme fonction de position horizontale, avec .

In[2]:=

xf = 1; nh = 201; h := xf/nh;

Configurez les variables pour la hauteur de la chaîne .

In[3]:=

varsy = Array[y, nh + 1, {0, nh}];

Désignez la pente à la position par et configurez des variables pour elle.

In[4]:=

varsm = Array[m, nh + 1, {0, nh}];

Désignez l'énergie potentielle partielle à par .

In[5]:=

varsv = Array[v, nh + 1, {0, nh}];

Désignez la longueur de la chaîne à la position par et configurez des variables pour elle.

In[6]:=

varss = Array[s, nh + 1, {0, nh}];

Joignez toutes les variables.

In[7]:=

vars = Join[varsm, varsy, varsv, varss];

L'objectif est de minimiser l'énergie potentielle totale .

In[8]:=

objfn = v[nh];

Voici la valeur limite des contraintes géométriques.

In[9]:=

bndcons = {y[0] == a, y[nh] == b, v[0] == 0, s[0] == 0, s[nh] == L};

Discrétisez les équations différentielles ordinaires: , , .

In[10]:=

odecons = {Table[
    y[j + 1] == y[j] + 0.5*h*(m[j] + m[j + 1]), {j, 0, nh - 1}],
   Table[v[j + 1] == 
     v[j] + 0.5*
       h*(y[j]*Sqrt[1 + m[j]^2] + y[j + 1]*Sqrt[1 + m[j + 1]^2]), {j, 
     0, nh - 1}], 
   Table[s[j + 1] == 
     s[j] + 0.5*h*(Sqrt[1 + m[j]^2] + Sqrt[1 + m[j + 1]^2]), {j, 0, 
     nh - 1}]};

Choisissez des points initiaux pour les variables.

In[11]:=

tmin = If[b > a, 0.25 , 0.75]; init = 
 Join[Table[4*Abs[b - a]*((k/nh) - tmin), {k, 0, nh}],
  Table[4*Abs[b - a]*(k/nh)*(0.5*(k/nh) - tmin) + a, {k, 0, nh}],
  Table[(4*Abs[b - a]*(k/nh)*(0.5*(k/nh) - tmin) + a)*4*
    Abs[b - a]*((k/nh) - tmin), {k, 0, nh}], 
  Table[4*Abs[b - a]*((k/nh) - tmin), {k, 0, nh}]];

Minimisez l'énergie potentielle totale, sous réserve des contraintes.

In[12]:=

sol = FindMinimum[{objfn, Join[bndcons, odecons]}, 
   Thread[{vars, init}]];

Extrayez les points de solution.

In[13]:=

solpts = Table[{i h, y[i] /. sol[[2]]}, {i, 0, nh}];

Tracez la position de la chaîne avec un minimum d'énergie potentielle.

In[14]:=

ListPlot[solpts, ImageSize -> Medium, PlotTheme -> "Marketing"]

Out[14]=

Utilisez FindFit pour adapter le résultat à la courbe caténaire.

In[15]:=

catenary[t_] = c1 + (1/c2) Cosh[c2 (t - c3)];

In[16]:=

fitsol = FindFit[solpts, catenary[t], {c1, c2, c3}, {t}]

Out[16]=

Tracez les points de solution avec la courbe caténaire.

In[17]:=

Show[Plot[catenary[t] /. fitsol, {t, 0, 1}, 
  PlotStyle -> Directive[Green, Thickness[0.01]], 
  ImageSize -> Medium], 
 ListPlot[Take[solpts, 1 ;; nh ;; 5], PlotStyle -> PointSize[.02]]]

Out[17]=