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Symbolische & numerische Integral- und Differentialrechnung

Evaluieren Sie eine Ableitung mittels Grenzwertdefinion

Mit Differenzenquotienten berechnen Sie nicht nur die erste Ableitung, sondern auch Ableitungen höherer Ordnung auf direkte Weise. Behandeln Sie zuerst die Funktion g und ihren zugehörigen Differenzenquotienten.

In[1]:=
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g[x_] := x^2 Exp[x]
In[2]:=
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dq1[x_] = DifferenceQuotient[g[x], {x, h}]
Out[2]=

Berechnet man den Grenzwert des Differenzenquotients, ergibt sich die erste Ableitung.

In[3]:=
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Limit[dq1[x], h -> 0]
Out[3]=
In[4]:=
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Limit[dq1[x], h -> 0]; Simplify[% == g'[x]]
Out[4]=

Die zweite Ableitung kann direkt durch den zweiten Differenzenquotienten angenähert werden, ohne je auf die erste Ableitung Bezug nehmen zu müssen.

In[5]:=
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dq2[x_] = DifferenceQuotient[g[x], {x, 2, h}]
Out[5]=

Wenn ist der Grenzwert die zweite Ableitung.

In[6]:=
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Limit[dq2[x], h -> 0]
Out[6]=
In[7]:=
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Limit[dq2[x], h -> 0]; Simplify[% == g''[x]]
Out[7]=

Der Differenzenquotient der ersten Ableitung ist eine andere Funktion des Differenzenquotients zweiter Ordnung von g, ihr Grenzwert ist jedoch auch die zweite Ableitung.

In[8]:=
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dqp[x_] = DifferenceQuotient[g'[x], {x, h}]
Out[8]=
In[9]:=
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Limit[dqp[x], h -> 0]
Out[9]=

Verwandte Beispiele

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