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기호적 미적분과 수치적 미적분

등시강하곡선 문제 해결

등시강하곡선 문제는 곡선위 임의의 장소에 위치해 있는 구슬이 모두 같은 시간에 바닥까지 떨어지는 곡선을 찾는 것입니다. 곡선의 호 길이와 속도 v에 대해 총 낙하 시간을 나타내면, 아벨 (Abel) 적분 방정식 이 됩니다. 관계 에 의해 미지의 함수 를 정의하고, 에너지 보존 방정식 를 사용하면 다음의 명시적인 방정식이됩니다.

In[1]:=
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abeleqn = T == 1/Sqrt[2 g] \!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(y\)]\( \*FractionBox[\(h[z]\), SqrtBox[\(y - z\)]] \[DifferentialD]z\)\);

DSolveValue를 사용하여 적분 방정식을 풉니다.

In[2]:=
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dsdy = DSolveValue[abeleqn, h[y], y]
Out[2]=

관계 를 사용하여 에 대해 해결합니다.

In[3]:=
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dxdy = Sqrt[dsdy^2 - 1]
Out[3]=

곡선을 원점에서 시작하여 적분하면 의 함수로 얻을 수 있습니다. 가정은 피적분 함수가 실수값임을 보장하는 것에 주목할 필요가 있습니다.

In[4]:=
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x[y_] = Integrate[dxdy, {y, 0, y}, Assumptions -> (2 g (T^2) )/(\[Pi]^2 y) > 1 && y > 0]
Out[4]=

2초의 하강 시간을 이용하여 중력 가속도의 값에 대입하여 등시강하곡선의 최대 곡선을 플롯합니다. (브랜치 의 도함수에 대한 답 에서 유래)

In[5]:=
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Show[ParametricPlot[{{x[y], y}, {-x[y], y}} /. {g -> 9.8, T -> 2}, {y, 0, (2 (9.8) 2^2)/\[Pi]^2}], ImageSize -> Medium]
Out[5]=

변수 을 변화 시키면 에 있어서의 단순하고 비특이적 곡선의 매개 변수를 제공합니다.

In[6]:=
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c[\[Theta]_] = ( g T^2)/\[Pi]^2 {Sin[\[Theta]] + \[Theta], 1 - Cos[\[Theta]]} ;

에너지 보존 방정식과 연쇄 율법 를 결합하면 의 함수로 하는 다음의 미분 방정식이 생성되며, 수치적 풀이가 가능합니다.

In[7]:=
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\[Theta]' == \[PlusMinus]FullSimplify[ Sqrt[ 2 g (Last[c[\[Theta]Max]] - Last[c[\[Theta]]])] /Sqrt[ c'[\[Theta]].c'[\[Theta]]] , g > 0 && T > 0]
Out[7]=

등시강하곡선을 따라 운동을 시각화합니다.

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