等時曲線問題を解く: Wolfram言語 11の新機能

等時曲線問題を解く

等時曲線問題では，曲線の任意の場所に置かれたビーズがすべて同じ時間で底まで落ちる，そのような曲線を見付けることが必要となる．曲線の弧長と速度について合計の落下時間を表すと，アーベル(Abel)積分方程式になる．関係によって未知の関数を定義し，エネルギー保存方程式を使うと，以下の明示的な方程式になる．

In[1]:=

abeleqn = T == 1/Sqrt[2 g] \!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(y\)]\(
\*FractionBox[\(h[z]\), 
SqrtBox[\(y - z\)]] \[DifferentialD]z\)\);

DSolveValueを使って，積分方程式を解く．

In[2]:=

dsdy = DSolveValue[abeleqn, h[y], y]

Out[2]=

関係を使ってについて解く．

In[3]:=

dxdy = Sqrt[dsdy^2 - 1]

Out[3]=

曲線を原点から開始し積分すると，がの関数ととして得られる．連想は，被積分関数が実数値であることを確実にすることに注目のこと．

In[4]:=

x[y_] = Integrate[dxdy, {y, 0, y}, 
  Assumptions -> (2 g (T^2) )/(\[Pi]^2 y) > 1 && y > 0]

Out[4]=

2秒の下降時間を使い，重力加速度の値に代入して，等時曲線の最大曲線をプロットする（分岐は　の導関数に対する解に由来する）．

In[5]:=

Show[ParametricPlot[{{x[y], y}, {-x[y], y}} /. {g -> 9.8, T -> 2}, {y,
    0, (2 (9.8) 2^2)/\[Pi]^2}], ImageSize -> Medium]

Out[5]=

変数を変化させると，における単純で非特異な曲線のパラメータ化を与える．

In[6]:=

c[\[Theta]_] = (
   g T^2)/\[Pi]^2 {Sin[\[Theta]] + \[Theta], 1 - Cos[\[Theta]]} ;

エネルギー保存方程式と連鎖律を組み合せると，をの関数とした以下の微分方程式が生成される．これは数値的に解くことができる．

In[7]:=

\[Theta]' == \[PlusMinus]FullSimplify[ Sqrt[
   2 g (Last[c[\[Theta]Max]] - Last[c[\[Theta]]])] /Sqrt[
   c'[\[Theta]].c'[\[Theta]]] , g > 0 && T > 0]

Out[7]=