Optimización de trayectoria
Minimice 
sujeto a 
.
Este ejemplo demuestra cómo un problema variacional puede ser discretizado a un problema de optimización finito resuelto eficientemente mediante métodos convexos, tales como QuadraticOptimization.
El problema variacional será aproximado discretizando el problema de valor límite y usando la regla trapezoidal para integrar en una retícula espaciada uniformemente en el intervalo [0,1], 
con 
.
Permita que la variable u[i] represente 
y x[i] represente 
para 
.
La restricción de la ecuación diferencial es fácilmente representada usando aproximaciones de diferencia de segundo orden centradas para 
desde 1 a 
.
En el límite, las condiciones de derivación cero permiten el uso de puntos ficticios 
y 
. Cuando 
y 
, la fórmula de diferencia de segundo orden para la primera derivada 
es cero para 
y 
. Entonces, en el límite, use lo siguiente.
La regla trapezoidal para 
es proporcionada por lo siguiente.
Dado que la expresión de la regla trapezoidal es cuadrática y todas las restricciones son de igualdad lineal, el mínimo de la integral discretizada puede ser encontrado usando QuadraticOptimization directamente.
Las funciones aproximadas son construidas con Interpolation.
Una solución analítica exacta, 
, es conocida para este problema, así que es posible graficar el error en la discretización.
El error asintótico es aproximadamente 
, así que al duplicar 
a 200 y recalcular, el error será alrededor de 1/4 de lo que se muestra aquí.
La solución analítica puede ser encontrada considerando una familia de curvas 
donde 
es un parámetro. Esta curva paramétrica cumple con las condiciones de límite prescritas 
. Dado que 
, se puede encontrar un parámetro óptimo 
que minimice 
.
El valor óptimo de 
está en 2, que es el resultado analítico 
.
