Otimização de trajetória
Minimize 
sujeito a 
.
Este exemplo monstra como um problema variacional pode ser discretizado para um problema de otimização finita resolvido de forma eficiente por métodos convexos, como QuadraticOptimization.
O problema variacional será aproximado discretizando o problema do valor limite e usando a regra trapezoidal para integrar em uma grade uniformemente espaçada no intervalo [0,1], 
com 
.
Use a variável u[i] para representar 
e x[i] para representar 
para 
.
A restrição de equação diferencial é facilmente representada usando aproximações centradas de diferença de segunda ordem para 
de 1 a 
.
No limite, as condições de derivação zero permitem o uso de pontos fictícios 
e 
. Quando 
e 
, a fórmula de diferença de segunda ordem para o primeira derivada 
é zero para 
e 
. Assim, no limite, use o seguinte.
A regra trapezoidal para 
é dada conforme abaixo.
Como a expressão da regra trapezoidal é quadrática e todas as restrições são restrições de igualdade linear, o mínimo da integral discretizada pode ser encontrado usando QuadraticOptimization diretamente.
Funções aproximadas são construídas com Interpolation.
Uma solução analítica exata, 
, é conhecida por este problema, por isso é possível representar o erro na discretização.
O erro assintótico é aproximadamente 
, então dobrando 
para 200 e recalculando, o erro será cerca de 1/4 do que é mostrado aqui.
A solução analítica pode ser encontrada considerando uma família de curvas 
onde 
é um parâmetro. Esta curva paramétrica satisfaz as condições de contorno prescritas 
. Como 
, pode-se encontrar um parâmetro ideal 
que minimize 
.
O valor ideal de 
está em 2, que é o resultado analítico 
.
