Otimização de trajetória

Minimize sujeito a .

Este exemplo monstra como um problema variacional pode ser discretizado para um problema de otimização finita resolvido de forma eficiente por métodos convexos, como QuadraticOptimization.

O problema variacional será aproximado discretizando o problema do valor limite e usando a regra trapezoidal para integrar em uma grade uniformemente espaçada no intervalo [0,1], com .

Use a variável u[i] para representar e x[i] para representar para .

A restrição de equação diferencial é facilmente representada usando aproximações centradas de diferença de segunda ordem para de 1 a .

No limite, as condições de derivação zero permitem o uso de pontos fictícios e . Quando e , a fórmula de diferença de segunda ordem para o primeira derivada é zero para e . Assim, no limite, use o seguinte.

A regra trapezoidal para é dada conforme abaixo.

Como a expressão da regra trapezoidal é quadrática e todas as restrições são restrições de igualdade linear, o mínimo da integral discretizada pode ser encontrado usando QuadraticOptimization diretamente.

Funções aproximadas são construídas com Interpolation.

Uma solução analítica exata, , é conhecida por este problema, por isso é possível representar o erro na discretização.

O erro assintótico é aproximadamente , então dobrando para 200 e recalculando, o erro será cerca de 1/4 do que é mostrado aqui.

A solução analítica pode ser encontrada considerando uma família de curvas onde é um parâmetro. Esta curva paramétrica satisfaz as condições de contorno prescritas . Como , pode-se encontrar um parâmetro ideal que minimize .

O valor ideal de está em 2, que é o resultado analítico .