Optimisation de trajectoire
Minimisez 
sous les contraintes de 
.
Cet exemple démontre comment un problème variationnel peut être discrétisé en un problème d'optimisation fini et résolu efficacement par des méthodes convexes, telles que QuadraticOptimization.
Le problème variationnel sera approximé en discrétisant le problème de la valeur limite et en utilisant la règle trapézoïdale à intégrer sur une grille uniformément espacée sur l'intervalle [0,1], 
pour 
.
Supposons que la variable u[i] représente 
, et que x[i] représente 
pour 
.
La contrainte de l'équation différentielle est facilement représentée à l'aide d'approximations de différence de second ordre centrées pour 
allant de 1 à 
.
À la limite, les conditions de la dérivée zéro permettent l'utilisation de points fictifs 
et 
. Lorsque 
et 
, la formule de différence de second ordre pour la première dérivée 
est égale à zéro pour 
et 
. Par conséquent, à la limite, utilisez ce qui suit :
La règle trapézoïdale pour 
est donnée par ce qui suit.
Puisque l'expression de la règle trapézoïdale est quadratique et que toutes les contraintes sont des contraintes d'égalité linéaire, le minimum de l'intégrale discrétisée peut être trouvé en utilisant directement QuadraticOptimization.
Les fonctions approximatives sont établies avec Interpolation.
Une solution analytique exacte, 
, est connue pour ce problème, il est donc possible de représenter l'erreur dans la discrétisation.
L'erreur asymptotique est d'à peu près 
, donc en doublant 
à 200 et en recalculant, l'erreur sera d'environ 1/4 de ce qui est montré ici.
La solution analytique peut être trouvée en considérant une famille de courbes 
où 
correspond à un paramètre. Cette courbe paramétrique satisfait aux conditions de limites prescrites 
. Puisque 
, on peut trouver un paramètre optimal 
qui minimise 
.
La valeur optimale de 
est à 2, ce qui correspond au résultat analytique 
.
