Suporte aprimorado para processos aleatórios em expectativa 

A integração aprimorada para processos aleatóreos e os frameworks de estatística e probabilidade do Mathematica 10 permitem computação simbólica com muitas fatias de um processo. Em particular, esse exemplo investiga dois estimadores da função de autocorrelação absoluta e explora as trocas entre o viés do estimador e sua variância de população.

Seja que denota valores de um processo aleatório arma no tempo .

In[1]:=

X arma\[ScriptCapitalP] = ARMAProcess[{2/5}, {1/5}, 4/3]; \[ScriptCapitalN] = 25;

Considere dois estimadores de amostra da sequência de função de correlação absoluta— e .

In[2]:=

X \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\) = Table[1/\[ScriptCapitalN] \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(s = 0\), \(\[ScriptCapitalN] - 1 - h\)]\(x[s]\ x[s + h]\)\), {h, 0, \[ScriptCapitalN] - 1}];

In[3]:=

X \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]2\), \(^\)]\) = Table[1/(\[ScriptCapitalN] - h) \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(s = 0\), \(\[ScriptCapitalN] - 1 - h\)]\(x[s]\ x[s + h]\)\), {h, 0, \[ScriptCapitalN] - 1}];

Compute expectativa de população desses estimadores para um processo ARMA(1,1).

In[4]:=

X est1mean = Expectation[ \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\), x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];

In[5]:=

X est2mean = Expectation[ \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]2\), \(^\)]\), x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];

O primeiro estimador, , é enviesado, enquanto o segundo, , não é.

In[6]:=

X est1mean == AbsoluteCorrelationFunction[ arma\[ScriptCapitalP], {\[ScriptCapitalN] - 1}]["Values"]

Out[6]=

In[7]:=

X est2mean == AbsoluteCorrelationFunction[ arma\[ScriptCapitalP], {\[ScriptCapitalN] - 1}]["Values"]

Out[7]=

Compute variâncias de população desses estimadores.

In[8]:=

X AbsoluteTiming[est1var = Expectation[( \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\) - est1mean)^2, x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];]

Out[8]=

In[9]:=

X AbsoluteTiming[est2var = Expectation[( \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]2\), \(^\)]\) - est2mean)^2, x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];]

Out[9]=

A variância do estimador não enviesado aumenta para grandes atrasos.

In[10]:=

X ListPlot[{est1var, est2var}, PlotLegends -> {"Biased", "Unbiased"}]

Out[10]=

Consequentemente, AbsoluteCorrelationFunction usa o estimador enviesado.

In[11]:=

X AbsoluteCorrelationFunction[ Table[x[s], {s, 0, \[ScriptCapitalN] - 1}], {\[ScriptCapitalN] - 1}] == \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\)

Out[11]=