Verbesserte Unterstützung für Zufallsprozesse mit Erwartungswert 

Mathematica 10 bietet verbesserte Integration von Zufallsprozessen und von Frameworks für Wahrscheinlichkeit und Statistik. Dies ermöglicht symbolische Rechenoperationen mit vielen Prozessabschnitten. Dieses Beispiel untersucht im Speziellen die beiden Schätzfunktionen der absoluten Autokorrelationsfunktion sowie die Beziehung zwischen Erwartungstreue und Populationsvarianz.

Die Werte eines arma-Zufallsprozesses zum Zeitpunkt seien beschrieben durch .

In[1]:=

X arma\[ScriptCapitalP] = ARMAProcess[{2/5}, {1/5}, 4/3]; \[ScriptCapitalN] = 25;

Angenommen wird ein Zweistichproben-Schätzer der absoluten Korrelationsfunktionen und .

In[2]:=

X \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\) = Table[1/\[ScriptCapitalN] \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(s = 0\), \(\[ScriptCapitalN] - 1 - h\)]\(x[s]\ x[s + h]\)\), {h, 0, \[ScriptCapitalN] - 1}];

In[3]:=

X \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]2\), \(^\)]\) = Table[1/(\[ScriptCapitalN] - h) \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(s = 0\), \(\[ScriptCapitalN] - 1 - h\)]\(x[s]\ x[s + h]\)\), {h, 0, \[ScriptCapitalN] - 1}];

Schätzen Sie mit diesen beiden Schätzern die Population des ARMA(1,1)-Prozesses.

In[4]:=

X est1mean = Expectation[ \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\), x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];

In[5]:=

X est2mean = Expectation[ \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]2\), \(^\)]\), x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];

Der Erwartunsgwert des ersten Schätzers ist verzerrt, während der zweite Schätzer erwartungstreu ist.

In[6]:=

X est1mean == AbsoluteCorrelationFunction[ arma\[ScriptCapitalP], {\[ScriptCapitalN] - 1}]["Values"]

Out[6]=

In[7]:=

X est2mean == AbsoluteCorrelationFunction[ arma\[ScriptCapitalP], {\[ScriptCapitalN] - 1}]["Values"]

Out[7]=

Schätzen Sie die Populationsvarianzen.

In[8]:=

X AbsoluteTiming[est1var = Expectation[( \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\) - est1mean)^2, x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];]

Out[8]=

In[9]:=

X AbsoluteTiming[est2var = Expectation[( \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]2\), \(^\)]\) - est2mean)^2, x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];]

Out[9]=

Die Varianz des erwartungstreuen Schätzers mit zunehmender Lag-Länge.

In[10]:=

X ListPlot[{est1var, est2var}, PlotLegends -> {"Biased", "Unbiased"}]

Out[10]=

Daher verwendet AbsoluteCorrelationFunction den Schätzer mit Verzerrung.

In[11]:=

X AbsoluteCorrelationFunction[ Table[x[s], {s, 0, \[ScriptCapitalN] - 1}], {\[ScriptCapitalN] - 1}] == \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\)

Out[11]=