对期望值的随机过程支持的改进 

Mathematica 10 中改进的对随机过程和概率以及统计框架的整合，使对许多过程切片进行符号计算成为可能. 特别是在以下范例中，对两个绝对自相关函数的估计量进行研究，调查估计量的偏差和其总体方差间的权衡.

用 在时间 表示随机过程 arma 的值.

In[1]:=

X arma\[ScriptCapitalP] = ARMAProcess[{2/5}, {1/5}, 4/3]; \[ScriptCapitalN] = 25;

设想绝对相关函数序列的样本估计量： 和 .

In[2]:=

X \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\) = Table[1/\[ScriptCapitalN] \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(s = 0\), \(\[ScriptCapitalN] - 1 - h\)]\(x[s]\ x[s + h]\)\), {h, 0, \[ScriptCapitalN] - 1}];

In[3]:=

X \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]2\), \(^\)]\) = Table[1/(\[ScriptCapitalN] - h) \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(s = 0\), \(\[ScriptCapitalN] - 1 - h\)]\(x[s]\ x[s + h]\)\), {h, 0, \[ScriptCapitalN] - 1}];

对于 ARMA(1,1) 过程，计算这两个估计器总体期待值.

In[4]:=

X est1mean = Expectation[ \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\), x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];

In[5]:=

X est2mean = Expectation[ \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]2\), \(^\)]\), x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];

第一个 是有偏估计量，但是第二个 是无偏估计量.

In[6]:=

X est1mean == AbsoluteCorrelationFunction[ arma\[ScriptCapitalP], {\[ScriptCapitalN] - 1}]["Values"]

Out[6]=

In[7]:=

X est2mean == AbsoluteCorrelationFunction[ arma\[ScriptCapitalP], {\[ScriptCapitalN] - 1}]["Values"]

Out[7]=

计算这两个估计器的总体方差.

In[8]:=

X AbsoluteTiming[est1var = Expectation[( \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\) - est1mean)^2, x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];]

Out[8]=

In[9]:=

X AbsoluteTiming[est2var = Expectation[( \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]2\), \(^\)]\) - est2mean)^2, x \[Distributed] arma\[ScriptCapitalP]];]

Out[9]=

无偏估计量的方差产生更大的延迟.

In[10]:=

X ListPlot[{est1var, est2var}, PlotLegends -> {"Biased", "Unbiased"}]

Out[10]=

因此，AbsoluteCorrelationFunction 使用有偏估计量.

In[11]:=

X AbsoluteCorrelationFunction[ Table[x[s], {s, 0, \[ScriptCapitalN] - 1}], {\[ScriptCapitalN] - 1}] == \!\(\*OverscriptBox[\(\[Gamma]1\), \(^\)]\)

Out[11]=