Affine nichtlineare Systeme 

Affine Systeme sind nichtlineare Systeme mit linearen Eingangssignalen. Sie können sehr komplex sein und in andere Systemmodelle transformiert werden.

Ein System, beschrieben durch eine gewöhnliche Differentialgleichung:

In[1]:=

X AffineStateSpaceModel[m x''[t] + c[x] x'[t] + k[x] == F[t], x[t], F[t], x[t], t]

Out[1]=

Ein System, beschrieben durch seine Komponenten:

In[2]:=

X AffineStateSpaceModel[{{Subscript[f, 1][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]], Subscript[f, 2][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]]}, {{Subscript[g, 11][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]]}, {Subscript[g, 21][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]]}}, {Subscript[h, 1][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]]}}, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}]

Out[2]=

Systeme, die aus anderen Systemmodellen gebildet wurden:

In[3]:=

X AffineStateSpaceModel /@ {StateSpaceModel[{{{Subscript[a, 11], Subscript[a, 12]}, {Subscript[a, 21], Subscript[a, 22]}}, {{Subscript[b, 11]}, {Subscript[b, 21]}}, {{Subscript[c, 11], Subscript[c, 12]}}, {{0}}}, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, SamplingPeriod ->None, SystemsModelLabels -> None], TransferFunctionModel[{{{1}}, (-2) s + s^2}, s], NonlinearStateSpaceModel[ {{Subscript[f, 1][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]] + Subscript[u, 1] Subscript[g, 11][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]], Subscript[f, 2][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]] + Subscript[u, 1] Subscript[g, 21][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]]}, {Subscript[ h, 1][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]]}}, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, {Subscript[u, 1]}, {Automatic}, Automatic , SamplingPeriod -> None]}

Out[3]=

Ein NonlinearStateSpaceModel (nichtlineares Zustandsraummodell), dessen Eingangsgröße nicht linear ist, ist approximativ.

In[4]:=

X AffineStateSpaceModel[ NonlinearStateSpaceModel[ {{Subscript[f, 1][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2], Subscript[u, 1]], Subscript[f, 2][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2], Subscript[u, 1]]}, {Subscript[h, 1][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2], Subscript[ u, 1]]}}, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, {Subscript[u, 1]}, {Automatic}, Automatic , SamplingPeriod -> None]]

Out[4]=

Ein lineares AffineStateSpaceModel (affines Zustandsraummodell) wird exakt in ein lineares Systemmodell transformiert.

In[5]:=

X assm = AffineStateSpaceModel[ {{Subscript[x, 1] + Subscript[x, 2], Subscript[x, 1]}, {{ 1 }, {1 }}, {Subscript[x, 1]}, {{ 0 }}}, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, Automatic, {Automatic}, Automatic , SamplingPeriod -> None];

In[6]:=

X {StateSpaceModel[assm], TransferFunctionModel[assm]}

Out[6]=

Im Allgemeinen werden affine Modelle während der Konvertierung in lineare Systemmodelle approximiert.

In[7]:=

X assm = AffineStateSpaceModel[ {{Subscript[x, 1] + Subscript[x, 2] + Subscript[x, 1] Subscript[x, 2], Subscript[x, 1]}, {{ 1 }, {1 + Subscript[x, 2] }}, {Subscript[x, 1]}, {{ 0 }}}, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, Automatic, {Automatic}, Automatic , SamplingPeriod -> None];

In[8]:=

X {StateSpaceModel[assm], TransferFunctionModel[assm]}

Out[8]=

Die Konvertierung in ein NonlinearStateSpaceModel ist exakt.

In[9]:=

X NonlinearStateSpaceModel[ AffineStateSpaceModel[ {{Subscript[f, 1][Subscript[x, 1], Subscript[ x, 2]], Subscript[f, 2][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]]}, {{ Subscript[g, 11][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]] }, {Subscript[g, 21][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]] }}, {Subscript[h, 1][Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]]}, {{ 0 }}}, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, {Subscript[u, 1]}, {Automatic}, Automatic , SamplingPeriod -> None] ]

Out[9]=