Neumann-Randbedingungen 

Berechnen Sie den Kühleffekt eines Rohres mit Kühlflüssigkeit im achsensymmetrischen Querschnitt einer Leitung.

Neumann-Randbedingungen schreiben den Durchfluss auf dem Rand des Gebietes vor.

In[1]:=

X \[CapitalOmega] = ImplicitRegion[ y >= 0 && (x - 3/2)^2 + y^2 >= 1/25 && x^2 + y^2 >= 1 && x^2 + y^2 <= 4 && y <= x Tan[\[Pi]/8], {x, y}];

Visualisieren Sie die Simulationsregion.

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In[2]:=

X Show[Graphics[{Circle[{0, 0}, 2], Circle[{0, 0}, 1], Circle[#, 1/5] & /@ {{-1, -1}, {-1, 1}, {1, -1}, {1, 1}, {3/2, 0}, {-3/2, 0}, {0, 3/2}, {0, -3/2}}}], RegionPlot[\[CapitalOmega]], ImageSize -> 300]

Out[2]=

Definieren Sie Dirichlet-Randbedingungen, um Temperaturen innerhalb und außerhalb der Leitung festzulegen.

In[3]:=

X Subscript[\[CapitalGamma], D] = {DirichletCondition[u[x, y] == 200., x^2 + y^2 == 1], DirichletCondition[u[x, y] == 15., x^2 + y^2 == 4]};

Definieren Sie den Durchfluss in das Kühlrohr der Leitung.

In[4]:=

X Subscript[\[CapitalGamma], N] = NeumannValue[-1000., (x - 3/2)^2 + y^2 == 1/25];

Lösen Sie die Laplace-Gleichung.

In[5]:=

X uif = NDSolveValue[{-10 \!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Del]\), \({x, y}\), \(2\)]\(u[x, y]\)\) == Subscript[\[CapitalGamma], N], Subscript[\[CapitalGamma], D]}, u, {x, y} \[Element] \[CapitalOmega]];

Stellen Sie die Lösung graphisch dar.

In[6]:=

X cp = ContourPlot[uif[x, y], {x, y} \[Element] \[CapitalOmega], Mesh -> None, ColorFunction -> "TemperatureMap", Contours -> 21, AspectRatio -> Automatic, Frame -> False, ImageSize -> 300]

Out[6]=

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In[7]:=

X Show[{Graphics[{Circle[{0, 0}, 2], Circle[{0, 0}, 1], Circle[#, 1/5] & /@ {{-1, -1}, {-1, 1}, {1, -1}, {1, 1}, {3/2, 0}, {-3/2, 0}, {0, 3/2}, {0, -3/2}}}, PlotRange -> {{0.7, 2.2}, {-0.5, 1}}], cp}]

Out[7]=