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Examinez une équation de Laplace sur un tore

Trouvez les cinq plus petites valeurs et fonctions propres d'une équation de Laplace sur un tore carré avec une contrainte Dirichlet.

Précisez les conditions aux limites périodiques sur un carré de longueur 1.

In[1]:=

torusBCs = {u[0, y] == u[1, y], u[x, 0] == u[x, 1]};

Précisez une valeur à l'origine. Par les conditions périodiques, cela doit aussi être la valeur des trois autres coins du carré.

In[2]:=

constraint = DirichletCondition[u[x, y] == 0, x == 0 && y == 0];

Calculez les valeurs et fonctions propres.

In[3]:=

{vals, funs} = NDEigensystem[ Join[{-Laplacian[u[x, y], {x, y}], constraint}, torusBCs], u[x, y], {x, y} \[Element] Rectangle[{0, 0}, {1, 1}], 4];

Inspectez les valeurs propres.

In[4]:=

vals

Out[4]=

Visualisez les fonctions propres.

In[5]:=

ImageCollage[ Plot3D[#, {x, y} \[Element] Rectangle[{0, 0}, {1, 1}], ColorFunction -> "TemperatureMap", Boxed -> False, Axes -> None, PlotRange -> All, PlotStyle -> {Specularity[White, 20]}] & /@ funs, Background -> Transparent]

Out[5]=