Berechnen Sie definite Integrale mithilfe der G-Funktion
Drückt man eine Funktion in einer MeijerG-Funktion aus, lässt sich so ihr Produkt über die positiven rellen Zahlen berechnen.
Legen Sie eine Regel fest, um das Integral eines Produkts von Funktionen in MeijerG-Funktionen auszudrücken.
In[1]:=
IntegrateMeijerG[f_ g_, {z_, 0, Infinity}] /; FreeQ[{f, g}, MeijerG] :=
IntegrateMeijerG[
MeijerGReduce[f, z] MeijerGReduce[g, z], {z, 0, Infinity}]Dieses Integral kann ganz exakt in einem einzigen MeijerG-Ausdruck ausgedrückt werden.
In[2]:=
IntegrateMeijerG[\[Alpha]_ Inactive[MeijerG][{a_, b_}, {c_,
d_}, \[Omega]_. z_] Inactive[MeijerG][{e_, f_}, {g_,
h_}, \[Eta]_. z_], {z_, 0, Infinity}] /;
FreeQ[{\[Alpha], \[Omega], \[Eta]},
z] := \[Alpha] MeijerG[{Join[-c, e], Join[f, d]}, {Join[-a, g],
Join[h, -b]}, \[Eta]/\[Omega]]Werten Sie nach diesem Schema 
aus.
In[3]:=
Plot[(1 + z)^(-3/2) EllipticK[-2 z], {z, 0, 10}, Filling -> Axis,
PlotRange -> All]Out[3]=
In[4]:=
IntegrateMeijerG[(1 + z)^(-3/2) EllipticK[-2 z], {z, 0, Infinity}]Out[4]=
Mit Integrate erhalten Sie dasselbe Resultat.
In[5]:=
Integrate[(1 + z)^(-3/2) EllipticK[-2 z], {z, 0, Infinity}]Out[5]=
Obwohl die Antwort ziemlich anders aussieht, ist sie äquivalent.
In[6]:=
IntegrateMeijerG[(1 + z)^(-3/2) EllipticK[-2 z], {z, 0, Infinity}];
Integrate[(1 + z)^(-3/2) EllipticK[-2 z], {z, 0, Infinity}];
FullSimplify[% == %%]Out[6]=
