Resolva o problema tautocrônico: Novos Recursos do Wolfram Language 11

Resolva o problema tautocrônico

O problema tautocrônico requer encontrar a curva onde um objeto colocado em qualquer ponto de partida deslizará até seu ponto mínimo gastando o mesmo tempo. Expressando o tempo total de queda em termos do comprimento do arco da curva e a velocidade obtemos a equação integral de Abel . Definindo a função desconhecida pela relação e usando a equação de conservação de energia obtemos a seguinte equação explícita.

In[1]:=

abeleqn = T == 1/Sqrt[2 g] \!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(y\)]\(
\*FractionBox[\(h[z]\), 
SqrtBox[\(y - z\)]] \[DifferentialD]z\)\);

Use DSolveValue para resolver a equação integral.

In[2]:=

dsdy = DSolveValue[abeleqn, h[y], y]

Out[2]=

Usando a relação , resolva .

In[3]:=

dxdy = Sqrt[dsdy^2 - 1]

Out[3]=

Iniciando a curva da origem e integrando obtemos como a função de . Note que as suposições asseguram que o integrando tenha um valor real.

In[4]:=

x[y_] = Integrate[dxdy, {y, 0, y}, 
  Assumptions -> (2 g (T^2) )/(\[Pi]^2 y) > 1 && y > 0]

Out[4]=

Usando um tempo de descida de dois segundos e substituindo no valor da aceleração gravitacional, faça um gráfico da curva máxima para a tautocrônica. (A parte vem da solução para a derivada de .)

In[5]:=

Show[ParametricPlot[{{x[y], y}, {-x[y], y}} /. {g -> 9.8, T -> 2}, {y,
    0, (2 (9.8) 2^2)/\[Pi]^2}], ImageSize -> Medium]

Out[5]=

Mudando as variáveis dá uma parametrização simples, não singular da curva .

In[6]:=

c[\[Theta]_] = (
   g T^2)/\[Pi]^2 {Sin[\[Theta]] + \[Theta], 1 - Cos[\[Theta]]} ;

Combinando a equação de conservação de energia e a regra de cadeia resulta a seguinte equação diferencial para como uma função de , que pode ser resolvida numéricamente.

In[7]:=

\[Theta]' == \[PlusMinus]FullSimplify[ Sqrt[
   2 g (Last[c[\[Theta]Max]] - Last[c[\[Theta]]])] /Sqrt[
   c'[\[Theta]].c'[\[Theta]]] , g > 0 && T > 0]

Out[7]=