Wolfram 语言

体积最大的长方体

求内接在凸多面体中的体积最大的轴平行立方体

这个例子演示了如何用 power-cone 约束条件来表示正的项的乘积的优化,可将约束条件与 ConicOptimization 一起使用以找到最优解。

考虑一个以随机点的凸包形式构建的随机凸多面体

对于长方体,找到一个下边角点 和边长向量 ,从而可用 Wolfram 语言 来表示该长方体。长方体的体积为边长的乘积所以目标函数就是最大化 。如果长方体的所有边角都在 中,那么长方体中的所有点也是如此。可用 来描述边角,其中 位于 中所有可能的 ntuples 元素的集合 中。

问题变为:

因为 非负,最大化乘积 与最大化几何平均 (已知是凹的)是一样的。最大化 等价于最小化 (是凸的)。通过辅助变量 将问题重新用线性目标函数 - 表示,约束条件为

问题变为:

power cone 是 的集合,满足 ,可用 Wolfram 语言 表示。

因为 ,对于非负的 ,可满足新的约束条件 ,且等价于 。可写作以下 power cone 约束条件:

如果 ,问题变为:

凸多面体可以表示为半空间 的交叉点。提取每个边的系数

求解问题。

显示体积最大的内接长方体。

除了多面体,取任何可用凸锥表示的集合 Kn,如一个椭球。当且仅当 时,长方体的顶点 才位于椭球中。

求解问题。

绘制结果。

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