Elipsóide de volume mínimo

Dado um conjunto de pontos em dimensões, encontre o elipsóide Löwner-John que é o elipsóide de menor volume que contém todos os pontos.

Este exemplo monstra que para problemas expressos em termos de funções objetivas convexas altamente não-lineares e restrições, NMinimize pode fazer transformações que tornam o problema facilmente resolvido pela otimização convexa.

Um elipsóide em pode ser descrito pelo conjunto de pontos de modo que , onde é uma matriz semidefinida positiva e e é um -vetor. O volume do elipsóide é proporcional a . é convexo para encontrar a solução de

O exemplo mostrado aqui é feito para um conjunto aleatório de pontos em três dimensões para que possa ser visualizado, mas o algoritmo da solução pode trabalhar dimensões maiores .

Encontre a solução usando NMinimize.

Em três dimensões, o elipsóide pode ser descrito em termos da primitiva gráfica Ellipsoid.

BoundingRegion pode encontrar um elipsóide de fechamento mais rápido, mas tem maior volume.