Decomposição em modos
Dado um conjunto de funções básicas 
, um sinal 
pode ser aproximado pela combinação linear 
. Normalmente, quanto maior a base, melhor o sinal pode ser aproximado. No entanto, nem todos os sinais precisam de todas as funções básicas para uma aproximação razoável. A idéia de decomposição em modos é escolher um pequeno subconjunto de um conjunto maior, ou dicionário, de funções básicas que podem ser sobredeterminadas.
Este exemplo demonstra como a decomposição em modos pode ser feita de maneira fácil e eficiente usando Fit com a opção FitRegularization.
Para sinais com amostragem de tempo discreto, a reconstrução pode ser simplesmente dada como uma equação matricial 
, onde 
é a matriz com elementos 
. Para bases sobredeterminadas, os coeficientes α que dão a melhor aproximação podem simplesmente ser encontrados por mínimos quadrados. Se, em vez de minimizar 
, um termo de regularização L1 é adicionado para dar 
, valores suficientemente grandes do parâmetro 
incentivam componentes de α a serem zero. O problema pode ser resolvido com eficiência usando Fit com a nova opção FitRegularization.
Use uma base de funções Gabor 
e 
para um exemplo de um grande dicionário de funções básicas.
Aqui está um gráfico mostrando uma amostra das funções do Gabor.
No intervalo de 0 a 1 com um intervalo de amostragem de tempo 
, um conjunto de funções básicas com 
, 
e 
fixado, são suficientes para representar exatamente uma ampla variedade de sinais.
A matriz de base pode ser construída usando DesignMatrix.
Esta matriz é muito grande, mas com uma pequena perda na precisão da representação, é possível usar o fato de que as funções de Gabor decaem rapidamente de 
para torná-la esparsa, usando um limite.
Agora considere um sinal.
O sinal pode ser discretizado simplesmente calculando todas as amostras de tempo.
Um ajuste de mínimos quadrados indicará quão bem a função pode ser representada pelas funções de base. Isso leva muito tempo porque a matriz é muito grande.
O erro de representação completo é efetivamente arredondamento de precisão da máquina.
Agora use a regularização L1 para encontrar um ajuste esparso. Na verdade, isso é mais rápido de calcular do que o ajuste de mínimos quadrados, pois ele usa um algoritmo esparso.
A representação esparsa usa apenas 50 dos 30561 elementos de base. Isso é pequeno o suficiente para realmente ter uma forma funcional.
Mostre o erro.
O ajuste pode ser melhorado ligeiramente fazendo um ajuste de mínimos quadrados apenas com esses elementos de base.
O erro pode ser ajustado alterando o parâmetro 
. Geralmente, 
maiores resultarão em menos funções básicas e mais erros, enquanto 
menores resultarão em mais funções de base e menor erro. Aqui estão os gráficos de erros para outras opções de 
.
