円アンサンブル(COE,CUE,...)
円アンサンブルはユニタリ行列族であり,分布はさまざまなユニタリ変換のもとで不変である.これらは主に統計力学,整数論,組合せ論,原子物理学等において使用される.
円実数アンサンブル(CRE)の行列は直交行列である. »
In[1]:=

cre = RandomVariate[CircularRealMatrixDistribution[5]];
In[2]:=

OrthogonalMatrixQ[cre]
Out[2]=

円ユニタリアンサンブル(CUE)の行列はユニタリ行列である. »
In[3]:=

cue = RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[5]];
In[4]:=

UnitaryMatrixQ[cue]
Out[4]=

円直交アンサンブル(COE)の行列は対称行列かつユニタリ行列である. »
In[5]:=

coe = RandomVariate[CircularOrthogonalMatrixDistribution[5]];
In[6]:=

SymmetricMatrixQ[coe] && UnitaryMatrixQ[coe]
Out[6]=

円シンプレクティックアンサンブル(CSE)は自己双対ユニタリ四元数行列である. »
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In[8]:=

cse = RandomVariate[CircularSymplecticMatrixDistribution[5]];
In[9]:=

UnitaryMatrixQ[cse] && selfdualQuaternionicQ[cse]
Out[9]=

円四元数アンサンブル(CQE)の行列はシンプレクティックユニタリ行列である. »
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In[11]:=

cqe = RandomVariate[CircularQuaternionMatrixDistribution[5]];
In[12]:=

UnitaryMatrixQ[cqe] && symplecticMatrixQ[cqe]
Out[12]=

CUE,COE,CSEの行列の固有値は単位長を持ち,位相は一様に分布している.
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Out[13]=

2次元CUEの固有値の位相の結合分布を可視化し,実際の密度と比較する.
In[14]:=

evs\[ScriptCapitalD] =
MatrixPropertyDistribution[Arg[Eigenvalues[x]],
x \[Distributed] CircularUnitaryMatrixDistribution[2]];
\[CurlyPhi]s =
RandomSample /@ RandomVariate[evs\[ScriptCapitalD], 10^5];
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Out[15]=
