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Conjuntos de Gauss (GOE, GUE, ...)

Los conjuntos de Gauss son familias de matrices aleatorias distribuidas normalmente con distribuciones invariantes bajo distintas transformaciones unitarias. Han sido bien estudiados, en parte debido a su manejo analítico, pero también debido a los espectros asociados que se aproximan mucho a aquellos muchos sistemas con grandes grados de libertad. Ejemplos de estos sistemas se pueden encontrar en la física, finanzas y biología.

Las matrices de un conjunto ortogonal de Gauss (GOE) son simétricos. »

In[1]:=

goe = RandomVariate[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[5]];

In[2]:=

SymmetricMatrixQ[goe]

Out[2]=

Las matrices de un conjunto unitario de Gauss (GUE) son hermitianas. »

In[3]:=

gue = RandomVariate[GaussianUnitaryMatrixDistribution[5]];

In[4]:=

HermitianMatrixQ[gue]

Out[4]=

Las matrices de un conjunto simpléctico de Gauss (GSE) son simplécticas hermitianas. »

In[5]:=

symplecticMatrixQ[m_] := With[{\[ScriptCapitalJ] = KroneckerProduct[{{0, -1}, {1, 0}}, IdentityMatrix[Length[m]/2]]}, Conjugate[m].\[ScriptCapitalJ] == \[ScriptCapitalJ].m ];

In[6]:=

gse = RandomVariate[GaussianSymplecticMatrixDistribution[5]];

In[7]:=

symplecticMatrixQ[gse] && HermitianMatrixQ[gse]

Out[7]=

La distribución de valores propios para matrices de conjuntos de Gauss en pequeñas dimensiones.

In[8]:=

eigs = Flatten[ RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], x \[Distributed] #], 10^5]] & /@ {GaussianOrthogonalMatrixDistribution[4], GaussianUnitaryMatrixDistribution[4], GaussianSymplecticMatrixDistribution[4]}; Row[MapThread[ SmoothHistogram[#1, "Scott", Frame -> None, PlotLegends -> Placed[#2, Above], Filling -> Axis, FillingStyle -> Green] &, {eigs, {Style["Orthogonal", 15], Style["Unitary", 15], Style["Symplectic", 15]}}]]

Out[8]=