グリーン関数を使って境界値問題を解く
指定された斉時境界条件の対象となる次の二階微分方程式を解く.
In[1]:=
eqn = -u''[x] - u'[x] + 6 u[x] == f[x];
In[2]:=
bc0 = u[0] == 0;
In[3]:=
bc1 = u[1] == 0;
強制項は次の関数 f[x]によって与えられる.
In[4]:=
f[x_] := E^(-a x)
対応する微分演算子に対するグリーン関数を計算する.
In[5]:=
gf[y_, x_] = GreenFunction[{eqn[[1]], bc0, bc1}, u[x], {x, 0, 1}, y]
Out[5]=
0から1の間にある lのさまざまな値に対するグリーン関数をプロットする.
In[6]:=
Plot[Table[gf[y, x], {y, 0, 1, 0.2}] // Evaluate, {x, 0, 1}]
Out[6]=
指定された強制項を持つもとの微分方程式の解は,区間上のたたみ込み積分を使って計算できるようになる.
In[7]:=
sol = Integrate[gf[y, x] f[y], {y, 0, 1}, Assumptions -> 0 < x < 1] //
Simplify
Out[7]=
パラメータ のさまざまな値に対する解をプロットする.
In[8]:=
Plot[Table[sol, {a, {1/4, 1, 2, 4}}] // Evaluate, {x, 0, 1}]
Out[8]=