用格林函数解边界值问题

求解下面满足给定齐次边界条件的二阶微分方程.

In[1]:=

eqn = -u''[x] - u'[x] + 6 u[x] == f[x];

In[2]:=

bc0 = u[0] == 0;

In[3]:=

bc1 = u[1] == 0;

外力项由下面的函数 f[x] 给出.

In[4]:=

f[x_] := E^(-a x)

计算相应微分算子的格林函数.

In[5]:=

gf[y_, x_] = GreenFunction[{eqn[[1]], bc0, bc1}, u[x], {x, 0, 1}, y]

Out[5]=

绘出 在 0 和 1 之间取不同的值时格林函数的图形.

In[6]:=

Plot[Table[gf[y, x], {y, 0, 1, 0.2}] // Evaluate, {x, 0, 1}]

Out[6]=

现在可以用区间 [0,1] 上的卷积来计算具有给定外力项的原微分方程的解.

In[7]:=

sol = Integrate[gf[y, x] f[y], {y, 0, 1}, Assumptions -> 0 < x < 1] // Simplify

Out[7]=

绘制参数 a 取不同值时解的图形.

In[8]:=

Plot[Table[sol, {a, {1/4, 1, 2, 4}}] // Evaluate, {x, 0, 1}]

Out[8]=