Einen nichtlinearen Beobachter berechnen 

Berechnen Sie einen nichtlinearen Beobachter unter der Verwendung eines Räuber-Beute-Modells, um die Schneeschuhhasenpopulation auf Basis der Luchspopuation zu ermitteln. »

Die Eingangsgröße des Modells ist  und die Ausgangsgröße ℓ.

In[1]:=

X pars = {\[ScriptR] -> 2.1, \[ScriptA] -> 3.2, \[ScriptB] -> 0.4, \[ScriptC] -> 50, \[ScriptD] -> 0.55, \[Kappa] -> 150};

In[2]:=

X sys = AffineStateSpaceModel[ {{-((\[ScriptA] \[ScriptH] \[ScriptL])/(\ \[ScriptC] + \[ScriptH])) + \[ScriptH] \[ScriptR] (1 - \[ScriptH]/\ \[Kappa]), -\[ScriptD] \[ScriptL] + (\[ScriptA] \[ScriptB] \[ScriptH] \ \[ScriptL])/(\[ScriptC] + \[ScriptH])}, {{ \[ScriptH] (1 - \ \[ScriptH]/\[Kappa]) }, {0 }}, {\[ScriptL]}, {{ 0 }}}, {{\[ScriptH], \ -((\[ScriptC] \[ScriptD])/(-\[ScriptA] \[ScriptB] + \[ScriptD]))}, {\ \[ScriptL], (\[ScriptB] \[ScriptC] \[ScriptR] (-\[ScriptC] \[ScriptD] \ + \[ScriptA] \[ScriptB] \[Kappa] - \[ScriptD] \ \[Kappa]))/((-\[ScriptA] \[ScriptB] + \[ScriptD])^2 \[Kappa])}}, \ {Subscript[\[FormalU], 1]}, {Automatic}, Automatic , SamplingPeriod -> None] /. pars;

Die Werte der Anfangsbevölkerung und periodisch schwankendes Nahrungsangebot.

In[3]:=

X ic = {80, 25}; \[ScriptF] = 1.1 + Cos[2 \[Pi] t];

Die Populationszahlen schwanken ebenfalls periodisch.

In[4]:=

X sr = StateResponse[{sys, ic}, \[ScriptF], {t, 0, 40}]; Plot[sr, {t, 0, 40}, PlotLegends -> {"hare", "lynx"}]

Out[4]=

Diese zyklische Entwicklung ist auch aus der Parameterdarstellung ersichtlich.

In[5]:=

X ParametricPlot[sr, {t, 0, 40}, Frame -> True, FrameLabel -> {"hare", "lynx"}]

Out[5]=

Berechnen Sie die Beobachterverstärkung ausgehend vom linearisierten Modell.

In[6]:=

X \[ScriptG] = EstimatorGains[StateSpaceModel[sys], {-1, -2}]

Out[6]=

Ermitteln Sie den nichtlinearen Beobachter anhand der berechneten Verstärkungen.

In[7]:=

X \[ScriptCapitalL] = StateOutputEstimator[sys, \[ScriptG]]

Out[7]=

Die Beobachtereingangsgrößen sind  und ℓ.

In[8]:=

X \[ScriptCapitalU] = Join[{\[ScriptF]}, OutputResponse[{sys, ic}, \[ScriptF], {t, 0, 30}]]

Out[8]=

Nach anfänglichen Transienten konvergiert der Schätzwert gegen den tatsächlichen Wert.

In[9]:=

X Subscript[\[ScriptH], estim] = OutputResponse[\[ScriptCapitalL], \[ScriptCapitalU], {t, 0, 30}][[ 1]]; Plot[{sr[[1]], Subscript[\[ScriptH], estim]}, {t, 0, 5}, PlotLegends -> {"Actual", "Estimated"}]

Out[9]=