Transiente Neumann-Randbedingungen 

Berechnen Sie den Kühleffekt eines Rohres mit einer Kühlflüssigkeit im achsensymmetrischen Querschnitt einer Leitung.

Definieren Sie den Definitionsbereich der Lösung.

In[1]:=

X \[CapitalOmega] = ImplicitRegion[ y >= 0 && (x - 3/2)^2 + y^2 >= 1/25 && x^2 + y^2 >= 1 && x^2 + y^2 <= 4 && y <= x Tan[\[Pi]/8], {x, y}];

Definieren Sie eine zeitabhängige Neumann-Randbedingung sowie stationäre Dirichlet-Randbedingungen.

In[2]:=

X Subscript[\[CapitalGamma], N][t_] = NeumannValue[ If[t <= 10., -100. t, -1000.], (x - 3/2)^2 + y^2 == 1/25];

In[3]:=

X Subscript[\[CapitalGamma], D][ t_] = {DirichletCondition[u[t, x, y] == 200., x^2 + y^2 == 1], DirichletCondition[u[t, x, y] == 15., x^2 + y^2 == 4]};

Lösen Sie das Problem eines stationären Zustands mit Randbedingungen an der Stelle , um die Anfangsbedingung zu ermitteln. Der "Continuation"-Netzgenerator wird zur besseren Auflösung der Ecken und Ränder des Definitionsbereichs eingesetzt.

In[4]:=

X uinit = NDSolveValue[{10 \!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Del]\), \({x, y}\), \(2\)]\(u[0, x, y]\)\) == 0, Subscript[\[CapitalGamma], D][0]}, u[0, x, y], {x, y} \[Element] \[CapitalOmega], Method -> {"PDEDiscretization" -> {"FiniteElement", "MeshOptions" -> {"BoundaryMeshGenerator" -> "Continuation"}}}];

Lösen Sie eine Wäremeleitungsgleichung mit einer am Außenrand festgelegten Temperatur und einem zeitabhängigen Wärmestrom über dem Innenrand. Verwenden Sie den stationären Zustand als Anfangswert. Um die bestmögliche Initialisierung sicherzustellen, wird dieselbe räumliche Netztstruktur verwendet wie für die stationäre Lösung.

In[5]:=

X uif = NDSolveValue[{D[u[t, x, y], t] - 10 \!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Del]\), \({x, y}\), \(2\)]\(u[t, x, y]\)\) == Subscript[\[CapitalGamma], N][t], Subscript[\[CapitalGamma], D][0], u[0, x, y] == uinit}, u, {t, 0, 25}, {x, y} \[Element] Head[uinit]["ElementMesh"]];

Stellen Sie die Lösung graphisch dar.

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In[6]:=

X framesNTV = Table[ContourPlot[ uif[t, x, y], {x, y} \[Element] uif["ElementMesh"], Mesh -> None, ColorFunction -> "TemperatureMap", Contours -> 21, PlotRange -> All, AspectRatio -> Automatic, Frame -> False], {t, 1/2, 15, 1/2}];

In[7]:=

X Manipulate[framesNTV[[i]], {{i, 9, "time"}, 1, Length[framesNTV], 1}, SaveDefinitions -> True]

Out[7]=

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