非定常ノイマン値 

パイプの軸対称の断面に冷却液を含むダクトの冷却効果を計算する．

解の定義域を指定する．

In[1]:=

X \[CapitalOmega] = ImplicitRegion[ y >= 0 && (x - 3/2)^2 + y^2 >= 1/25 && x^2 + y^2 >= 1 && x^2 + y^2 <= 4 && y <= x Tan[\[Pi]/8], {x, y}];

時間と定常ディリクレ条件に依存するノイマン値を指定する．

In[2]:=

X Subscript[\[CapitalGamma], N][t_] = NeumannValue[ If[t <= 10., -100. t, -1000.], (x - 3/2)^2 + y^2 == 1/25];

In[3]:=

X Subscript[\[CapitalGamma], D][ t_] = {DirichletCondition[u[t, x, y] == 200., x^2 + y^2 == 1], DirichletCondition[u[t, x, y] == 15., x^2 + y^2 == 4]};

における境界条件に対応する定常状態問題を解いて，初期条件を求める．定義域のコーナーとエッジをよりよく分割するために"Continuation"メッシュ生成器が使われる．

In[4]:=

X uinit = NDSolveValue[{10 \!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Del]\), \({x, y}\), \(2\)]\(u[0, x, y]\)\) == 0, Subscript[\[CapitalGamma], D][0]}, u[0, x, y], {x, y} \[Element] \[CapitalOmega], Method -> {"PDEDiscretization" -> {"FiniteElement", "MeshOptions" -> {"BoundaryMeshGenerator" -> "Continuation"}}}];

初期条件として定常状態解を使い，温度が外側境界上で設定され時間依存の流動が内側境界上で設定された熱方程式を解く．最適な初期化を確実にするために，定常状態解と同じ空間メッシュが使われる．

In[5]:=

X uif = NDSolveValue[{D[u[t, x, y], t] - 10 \!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Del]\), \({x, y}\), \(2\)]\(u[t, x, y]\)\) == Subscript[\[CapitalGamma], N][t], Subscript[\[CapitalGamma], D][0], u[0, x, y] == uinit}, u, {t, 0, 25}, {x, y} \[Element] Head[uinit]["ElementMesh"]];

解をプロットする．

完全なWolfram言語入力を表示する入力を隠す

In[6]:=

X framesNTV = Table[ContourPlot[ uif[t, x, y], {x, y} \[Element] uif["ElementMesh"], Mesh -> None, ColorFunction -> "TemperatureMap", Contours -> 21, PlotRange -> All, AspectRatio -> Automatic, Frame -> False], {t, 1/2, 15, 1/2}];

In[7]:=

X Manipulate[framesNTV[[i]], {{i, 9, "time"}, 1, Length[framesNTV], 1}, SaveDefinitions -> True]

Out[7]=

動画を開始 動画を中止