一酸化炭素分子の小さい振動をモデル化する
実験では,一酸化炭素分子は実質的なバネ定数 で,その平衡位置の周りで振動する.振動は調和振動子方程式によって決定される.次では は分子の換算質量,は自然周波数, は平衡位置からの移動, は換算プランク(Planck)定数である.
In[1]:=
qho = -(\[HBar]^2/(2 m)) Laplacian[u[x], {x}] + (m \[Omega]^2)/
2 x^2 u[x];
固有値および正規化された固有関数の最初の4個を計算する.
In[2]:=
sol = DEigensystem[qho, u[x], {x, -\[Infinity], \[Infinity]}, 4,
Assumptions -> \[HBar] > 0 && m > 0 && \[Omega] > 0,
Method -> "Normalize"]
Out[2]=
分子が4つの状態の等しい重ね合せになっていると仮定すると,波動関数の形はになる.
In[3]:=
\[Psi][x_, t_] = Total[MapThread[1/2 Exp[I E t #1/\[HBar]] #2 &, sol]]
Out[3]=
統一原子質量単位,フェムト秒,ピコメートルの基本単位を使って,3つのパラメータ ,, を計算する.結果の値は1のオーダーに近付く.
In[4]:=
m = QuantityMagnitude[(
Entity["Element", "Carbon"][
EntityProperty["Element", "AtomicMass"]] Entity["Element",
"Oxygen"][EntityProperty["Element", "AtomicMass"]])/(
Entity["Element", "Carbon"][
EntityProperty["Element", "AtomicMass"]] +
Entity["Element", "Oxygen"][
EntityProperty["Element", "AtomicMass"]]), "AtomicMassUnits"]
Out[4]=
In[5]:=
\[Omega] =
Sqrt[QuantityMagnitude[Quantity[1.86, "Kilonewtons"/"Meters"],
"AtomicMassUnit"/"Femtoseconds"^2]/m]
Out[5]=
In[6]:=
\[HBar] =
QuantityMagnitude[Quantity[1., "ReducedPlanckConstant"],
"AtomicMassUnit"*"Picometers"^2/"Femtoseconds"]
Out[6]=
移動の確率密度関数は で与えられる.
In[7]:=
\[Rho][x_, t_] =
FullSimplify[ComplexExpand[Conjugate[\[Psi][x, t]] \[Psi][x, t]]]
Out[7]=
確率分布として,実数上の の積分はすべての に対して1である.
In[8]:=
Chop[Integrate[\[Rho][x, t], {x, -\[Infinity], \[Infinity]}]]
Out[8]=
確率密度を経時的に可視化する.
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