Solución del problema de Tautócrona: Nuevo en Wolfram Language 11

Solución del problema de Tautócrona

El problema de tautócrona requiere encontrar la curva por donde el cordón colocado en cualquier parte caerá a la parte inferior en la misma cantidad de tiempo. Expresando el total de tiempo de caída en términos de la longitud de arco de la curva y la velocidad se obtiene la ecuación integral de Abel . Definiendo la función desconocida por la relación y usando la conservación de ecuación de energía se obtiene la siguiente ecuación explícita.

In[1]:=

abeleqn = T == 1/Sqrt[2 g] \!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(y\)]\(
\*FractionBox[\(h[z]\), 
SqrtBox[\(y - z\)]] \[DifferentialD]z\)\);

Utilice DSolveValue para resolver la ecuación de integral.

In[2]:=

dsdy = DSolveValue[abeleqn, h[y], y]

Out[2]=

Usando la relación , resuelva .

In[3]:=

dxdy = Sqrt[dsdy^2 - 1]

Out[3]=

Comenzando la curva a partir del origen e integrando se obtiene como una función de . Note que los supuestos aseguran que el integrando tenga un valor real.

In[4]:=

x[y_] = Integrate[dxdy, {y, 0, y}, 
  Assumptions -> (2 g (T^2) )/(\[Pi]^2 y) > 1 && y > 0]

Out[4]=

Usando un tiempo descendente de dos segundos y sustituyendo en el valor de la aceleración gravitacional, represente gráficamente la curva máxima para el tautócrona. (La rama provine de la solución para la derivada de .)

In[5]:=

Show[ParametricPlot[{{x[y], y}, {-x[y], y}} /. {g -> 9.8, T -> 2}, {y,
    0, (2 (9.8) 2^2)/\[Pi]^2}], ImageSize -> Medium]

Out[5]=

Cambiando las variables da una parametrización simple, no singular de la curva con .

In[6]:=

c[\[Theta]_] = (
   g T^2)/\[Pi]^2 {Sin[\[Theta]] + \[Theta], 1 - Cos[\[Theta]]} ;

Combinando la conservación de ecuación de energía y la regla de cadena produce la siguiente ecuación diferencial para como una función de , la cual puede ser resuelta numéricamente.

In[7]:=

\[Theta]' == \[PlusMinus]FullSimplify[ Sqrt[
   2 g (Last[c[\[Theta]Max]] - Last[c[\[Theta]]])] /Sqrt[
   c'[\[Theta]].c'[\[Theta]]] , g > 0 && T > 0]

Out[7]=