Solución del problema de Tautócrona
El problema de tautócrona requiere encontrar la curva por donde el cordón colocado en cualquier parte caerá a la parte inferior en la misma cantidad de tiempo. Expresando el total de tiempo de caída en términos de la longitud de arco de la curva y la velocidad se obtiene la ecuación integral de Abel
. Definiendo la función desconocida
por la relación
y usando la conservación de ecuación de energía
se obtiene la siguiente ecuación explícita.
![Click for copyable input](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/In_107.png)
abeleqn = T == 1/Sqrt[2 g] \!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(y\)]\(
\*FractionBox[\(h[z]\),
SqrtBox[\(y - z\)]] \[DifferentialD]z\)\);
Utilice DSolveValue para resolver la ecuación de integral.
![Click for copyable input](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/In_108.png)
dsdy = DSolveValue[abeleqn, h[y], y]
![](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/O_56.png)
Usando la relación , resuelva
.
![Click for copyable input](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/In_109.png)
dxdy = Sqrt[dsdy^2 - 1]
![](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/O_57.png)
Comenzando la curva a partir del origen e integrando se obtiene como una función de
. Note que los supuestos aseguran que el integrando tenga un valor real.
![Click for copyable input](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/In_110.png)
x[y_] = Integrate[dxdy, {y, 0, y},
Assumptions -> (2 g (T^2) )/(\[Pi]^2 y) > 1 && y > 0]
![](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/O_58.png)
Usando un tiempo descendente de dos segundos y sustituyendo en el valor de la aceleración gravitacional, represente gráficamente la curva máxima para el tautócrona. (La rama provine de la solución
para la derivada de
.)
![Click for copyable input](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/In_111.png)
Show[ParametricPlot[{{x[y], y}, {-x[y], y}} /. {g -> 9.8, T -> 2}, {y,
0, (2 (9.8) 2^2)/\[Pi]^2}], ImageSize -> Medium]
![](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/O_59.png)
Cambiando las variables da una parametrización simple, no singular de la curva con
.
![Click for copyable input](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/In_112.png)
c[\[Theta]_] = (
g T^2)/\[Pi]^2 {Sin[\[Theta]] + \[Theta], 1 - Cos[\[Theta]]} ;
Combinando la conservación de ecuación de energía y la regla de cadena produce la siguiente ecuación diferencial para
como una función de
, la cual puede ser resuelta numéricamente.
![Click for copyable input](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/In_113.png)
\[Theta]' == \[PlusMinus]FullSimplify[ Sqrt[
2 g (Last[c[\[Theta]Max]] - Last[c[\[Theta]]])] /Sqrt[
c'[\[Theta]].c'[\[Theta]]] , g > 0 && T > 0]
![](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/O_60.png)
Visualice el movimiento a lo largo de la tautócrona.
![](assets.es/solve-the-tautochrone-problem/swf_2.png)