円板型条件 

リエ(Lur'e)問題は制御系の重要なクラスの安定性を調べるものである．ここでその前向き経路は線形時不変系からなり，後向き経路は無記憶非線形性からなっている．

単入力単出力系では，リエ問題は円板型条件を使って，グラフィカルに解くことができる． がセクター条件 を満たす閉ループ系の不安定な極の数()は で与えられる．ここで はの不安定な極の数， はセクター()のフィードバックに対応する円板を囲むのナイキスト図による時計回りの包囲の数である．

安定な系()．

In[1]:=

X lsys = TransferFunctionModel[{{{1 + s}}, 1 + 3 s + s^2}, s];

In[2]:=

X Cases[TransferFunctionPoles[lsys], _?(Re[#] >= 0 &), {2}]

Out[2]=

セクター()のフィードバックでは，包囲はない()．

In[3]:=

X NyquistPlot[lsys, FeedbackSector -> {1, 5}]

Out[3]=

フィードバックセクター内のさまざまな非線形性．

In[4]:=

X r = Sequence[4, 3.5, 3, 2, 1.5]; \[Phi] = Table[Sin[u] + \[Alpha] u, {\[Alpha], {r}}];

In[5]:=

X Plot[{5 u, \[Phi], u}, {u, -10, 10}, PlotLegends -> {"upper bound", r, "lower bound"}]

Out[5]=

安定な()閉ループ系のシミュレーションを行う．

In[6]:=

X \[ScriptCapitalR] = Table[OutputResponse[ SystemsModelFeedbackConnect[lsys, NonlinearStateSpaceModel[ {{}, {\[Phi]}}, {}, {u}, {Automatic}, Automatic , SamplingPeriod -> None]], UnitStep[t], {t, 0, 10}], {\[Phi], Reverse[\[Phi]]}];

In[7]:=

X Plot[\[ScriptCapitalR], {t, 0, 10}, PlotLegends -> Reverse[{r}]]

Out[7]=