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Distribution de Tracy–Widom

La distribution de Tracy–Widom est une distribution limite de la plus grande valeur propre d'une échelle des ensembles de matrices aléatoires appartenant à des ensembles de Gauss. En outre, il apparaît dans différents domaines, tels que des problèmes de comptage, les modèles de croissance aléatoires, des transitions de phase, etc., et donne des prévisions précises.

La distribution de Tracy–Widom est composée de trois classes = 1, 2 et 4. Chacune correspond à différents ensembles de Gauss; découvrez la fonction correspondante de densité de probabilité.

In[1]:=

Plot[Table[ PDF[TracyWidomDistribution[\[Beta]], x], {\[Beta], {1, 2, 4}}] // Evaluate, {x, -5, 2}, Filling -> Axis, PlotLegends -> {"\[Beta] = 1", "\[Beta] = 2", "\[Beta] = 4"}, ImageSize -> Medium, PlotTheme -> "Detailed"]

Out[1]=

Utilisez MatrixPropertyDistribution pour représenter la valeur propre d'échelle la plus grande d'une matrice de GUE.

In[2]:=

ev\[ScriptCapitalD][2, n_] := MatrixPropertyDistribution[(Max[Eigenvalues[x]] - 2 Sqrt[n]) n^(1/6), x \[Distributed] GaussianUnitaryMatrixDistribution[n]]

Échantillon de la distribution et comparez l'histogramme avec la fonction de densité de probabilité.

In[3]:=

sample = RandomVariate[ev\[ScriptCapitalD][2, 250], 2000];

In[4]:=

Show[Histogram[sample, {0.2}, PDF, PlotTheme -> "Detailed"], Plot[PDF[TracyWidomDistribution[2], x ], {x, -5, 2}, PlotStyle -> Thick, PlotTheme -> "Detailed", PlotLegends -> None], ImageSize -> Medium]

Out[4]=

La distribution Tracy–Widom peut être bien approchée par une distribution gamma dans la région centrale.

In[5]:=

gdist = GammaDistribution[k, s, 1, a]; PDF[gdist, x]

Out[5]=

Ajustez la distribution gamma avec la distribution Tracy–Widom de = 1 en faisant correspondre les trois premiers moments.

In[6]:=

moments = Through[{Mean, Variance, Skewness}[gdist]]; nmoments = N[Through[{Mean, Variance, Skewness}[TracyWidomDistribution[1]]]]; sol = FindRoot[Thread[moments == nmoments], {{k, 1}, {s, 1}, {a, 1}}]

Out[6]=

Comparez les fonctions de densité de probabilité.

In[7]:=

Plot[{PDF[gdist /. sol, x], PDF[TracyWidomDistribution[1], x]} // Evaluate, {x, -5, 2}, PlotLegends -> {"Gamma distribution", "Tracy-Widom distribution"}, Filling -> Axis, PlotTheme -> "Detailed", ImageSize -> Medium]

Out[7]=