Résolvez le problème de tautochrone
Le problème de tautochrone requiert qu'on trouve la courbe vers le bas pour la corde placée n'importe où tombera au fond dans le même laps de temps. Exprimez le temps global de chute en termes de la longueur d'arc de la courbe y et la vitesse v équation on obtient l'équation intégrale de Abel 
. Définir la fonction inconnue h par la relation 
et en utilisant la conservation de l'équation de l'énergie 
donne l'équation explicite suivante.
abeleqn = T == 1/Sqrt[2 g] \!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(y\)]\(
\*FractionBox[\(h[z]\),
SqrtBox[\(y - z\)]] \[DifferentialD]z\)\);Utilisez DSolveValue pour résoudre l'équation d'intégrale.
dsdy = DSolveValue[abeleqn, h[y], y]
En utilisant la relation 
, résolvez pour 
.
dxdy = Sqrt[dsdy^2 - 1]
A partir de la courbe de l'origine et à l'intégration des rendements x en fonction de et. Notez que les hypothèses Assurez-vous que l'intégrande est réelle évaluée.
x[y_] = Integrate[dxdy, {y, 0, y},
Assumptions -> (2 g (T^2) )/(\[Pi]^2 y) > 1 && y > 0]
L'utilisation d'un temps de descente de deux secondes et Substituer la valeur de l'accélération gravitationnelle, tracé la courbe maximale pour la tautochrone. (La branche 
vient de la solution 
pour la dérivée de 
.)
Show[ParametricPlot[{{x[y], y}, {-x[y], y}} /. {g -> 9.8, T -> 2}, {y,
0, (2 (9.8) 2^2)/\[Pi]^2}], ImageSize -> Medium]
Changer les variables 
donne une paramétrisation simple et non singulière de la courbe avec 
.
c[\[Theta]_] = (
g T^2)/\[Pi]^2 {Sin[\[Theta]] + \[Theta], 1 - Cos[\[Theta]]} ;Combiner la conservation de l'équation d'énergie et la règle de la chaîne 
produit l'équation différentielle suivante pour 
comme fonction de 
, qui peut être résolue numériquement.
\[Theta]' == \[PlusMinus]FullSimplify[ Sqrt[
2 g (Last[c[\[Theta]Max]] - Last[c[\[Theta]]])] /Sqrt[
c'[\[Theta]].c'[\[Theta]]] , g > 0 && T > 0]
Visualisez le mouvement au long de la tautochrone.
