Résolvez un problème à valeur de limite avec une fonction de Green

Résolvez l'équation différentielle du second ordre suivante sous réserve des conditions aux limites homogènes données.

In[1]:=

eqn = -u''[x] - u'[x] + 6 u[x] == f[x];

In[2]:=

bc0 = u[0] == 0;

In[3]:=

bc1 = u[1] == 0;

Le terme de forçage est donné par la fonction f[x] suivante.

In[4]:=

f[x_] := E^(-a x)

Calculez une fonction de Green pour l'opérateur différentiel correspondant.

In[5]:=

gf[y_, x_] = GreenFunction[{eqn[[1]], bc0, bc1}, u[x], {x, 0, 1}, y]

Out[5]=

Tracez une fonction de Green pour différentes valeurs de compris entre 0 et 1.

In[6]:=

Plot[Table[gf[y, x], {y, 0, 1, 0.2}] // Evaluate, {x, 0, 1}]

Out[6]=

La solution de l'équation différentielle originale avec le terme de forçage donné peut maintenant être calculée en utilisant une intégrale de convolution sur l'intervalle .

In[7]:=

sol = Integrate[gf[y, x] f[y], {y, 0, 1}, Assumptions -> 0 < x < 1] // Simplify

Out[7]=

Tracez la solution pour différentes valeurs du paramètre .

In[8]:=

Plot[Table[sol, {a, {1/4, 1, 2, 4}}] // Evaluate, {x, 0, 1}]

Out[8]=