Wolfram Language

Zufallsmatritzen

Gaußsche Ensembles (GOE, GUE, ...)

Ein Gaußsches Ensemble ist die Gesamtheit normalverteilter Zufallsmatritzen mit Verteilungen, die unter unterschiedlichen unitären Transformationen unveränderlich bleiben. Sie bilden wegen ihrer analytischen Lösbarkeit ein intensiv untersuchtes Gebiet, aber auch weil die mit ihnen verbundenen Spektren jene der Systeme mit vielen Freiheitsgraden stark approximieren. Diese Systeme treten beispielsweise in der Physik, Finanz und Biologie auf.

Matritzen des Gaußschen orthogonalen Ensembles (GOE) sind symmetrisch.»

In[1]:=
Click for copyable input
goe = RandomVariate[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[5]];
In[2]:=
Click for copyable input
SymmetricMatrixQ[goe]
Out[2]=

Matritzen des Gaußschen unitären Ensembles (GUE) sind hermitesch.»

In[3]:=
Click for copyable input
gue = RandomVariate[GaussianUnitaryMatrixDistribution[5]];
In[4]:=
Click for copyable input
HermitianMatrixQ[gue]
Out[4]=

Matritzen des Gaußschen symplektischen Ensembles (GSE) sind symplektisch hermitesch.»

Den kompletten Wolfram Language-Input zeigen
In[5]:=
Click for copyable input
symplecticMatrixQ[m_] := With[{\[ScriptCapitalJ] = KroneckerProduct[{{0, -1}, {1, 0}}, IdentityMatrix[Length[m]/2]]}, Conjugate[m].\[ScriptCapitalJ] == \[ScriptCapitalJ].m ];
In[6]:=
Click for copyable input
gse = RandomVariate[GaussianSymplecticMatrixDistribution[5]];
In[7]:=
Click for copyable input
symplecticMatrixQ[gse] && HermitianMatrixQ[gse]
Out[7]=

Eigenwertverteilung für Matritzen von Gaußschen Ensembles in kleinen Dimensionen.

Den kompletten Wolfram Language-Input zeigen
In[8]:=
Click for copyable input
eigs = Flatten[ RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], x \[Distributed] #], 10^5]] & /@ {GaussianOrthogonalMatrixDistribution[4], GaussianUnitaryMatrixDistribution[4], GaussianSymplecticMatrixDistribution[4]}; Row[MapThread[ SmoothHistogram[#1, "Scott", Frame -> None, PlotLegends -> Placed[#2, Above], Filling -> Axis, FillingStyle -> Green] &, {eigs, {Style["Orthogonal", 15], Style["Unitary", 15], Style["Symplectic", 15]}}]]
Out[8]=

Verwandte Beispiele

en es fr ja ko pt-br ru zh