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発散する漸近展開を調べる(AsymptoticIntegrate)

漸近展開は発散級数で与えられることが多い.通常発散級数の最初の数項は問題に対するよい近似を提供するが,級数の項数が増えるにつれて近似の質は低下する.パラメータに依存する定積分の例で,この現象を説明する.

次の定積分の級数展開を考える.

この級数は の非零の値すべてについて発散する.

この級数は発散するが,積分に対するすばらしい漸近近似を提供する.たとえば,次の数値比較によると,この近似はかなり正確である.

項の数が多くなると,近似は正確ではなくなる.これは漸近級数ではよくある挙動である.

次のプロットは, の固定された値について,項の数が一定範囲( に依存)内にある場合,漸近級数はよい近似を与えるということを示している.項の数がこの範囲を超えて増加すると,近似は発散し始める.

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IntegrateあるいはRegularizationを使って,厳密な結果を得る.

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