Самые длинные возрастающие подпоследовательности

Число перестановок элементов , в которых самая длинная возрастающая подпоследовательность, имеющая предельную длину , может быть вычислена путём нахождения среднего значения , где являются матрицами, полученными из CircularUnitaryMatrixDistribution размера массива .

In[1]:=

{k, n} = {6, 2};

Определите распределение матричных свойств и рассчитайте среднее значение.

In[2]:=

\[ScriptCapitalD] = MatrixPropertyDistribution[Abs[Tr[\[ScriptCapitalU]]]^( 2 k), \[ScriptCapitalU] \[Distributed] CircularUnitaryMatrixDistribution[n]]; N[Mean[\[ScriptCapitalD]]]

Out[2]=

Сравните с прямым подсчётом.

In[3]:=

Count[Permutations[Range[k]], perm_ /; Length[LongestOrderedSequence[perm]] <= n]

Out[3]=

Для распределение нормированных длин самых длинных возрастающих подпоследовательностей случайных перестановок стремится к распределению Трейси-Видома с .

In[4]:=

sample[n_] := 1/n^(1/6) (Table[ Length[LongestOrderedSequence[ RandomSample[Range[n]]]], {2000}] - 2.0 Sqrt[n]);

Сравните сглаженную гистограмму выборочных нормированных длин для возрастающих измерений с функцией распределения плотности распределения Трейси-Видома.

In[5]:=

dims = {1000, 5000, 10000}; Show[ SmoothHistogram[sample /@ dims, PlotLegends -> (Row[{"n = ", #}] & /@ dims)], Plot[PDF[TracyWidomDistribution[2], x], {x, -4, 2}, PlotStyle -> {Black, Dashed, Thick}, PlotLegends -> {"Tracy-Widom distribution"}]]

Out[5]=