Eine Eigenfunktionserweiterung generieren

Berechnen Sie die Eigenfunktionserweiterung der Funktion bezüglich der Basis gegeben durch einen Laplace-Operator mit Dirichlet-Randbedingungen auf dem Intervall .

In[1]:=

basis = DEigensystem[{-Laplacian[u[x], {x}], DirichletCondition[u[x] == 0, True]}, u[x], {x, 0, \[Pi]}, 6, Method -> "Normalize"][[2]]

Out[1]=

Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten für die Funktion .

In[2]:=

f[x_] := E^(-x) x^2 (\[Pi] - x) Sin[4 x]

In[3]:=

coeffs = (Table[Integrate[f[x] basis[[i]], {x, 0, Pi}], {i, 6}] // FullSimplify);

Bestimmen Sie als die Partialsumme der Erweiterung.

In[4]:=

eigexp[x_, n_] := Sum[coeffs[[i]] basis[[i]], {i, n}]

In[5]:=

eigexp[x, 3] // N

Out[5]=

Vergleichen Sie die Funktion mit ihrer Eigenfunktionserweiterung für verschiedene Werte von .

In[6]:=

Table[Plot[{f[x], eigexp[x, i]} // Evaluate, {x, 0, Pi}], {i, 3, 6}]

Out[6]=